menyelesaikan persamaan trigonometri yang berbentuk persamaan kuadrat

Untukmenyelesaikan persamaan trigonometri, persamaan harus kita ubah dulu seperti bentuk di atas. *). Dari bentuk penyelesaian persamaan trigonometri di atas, dapat disimpulkan bahwa penyelesaiannya banyak sekali (tak hingga). Tapi tenang saja, biasanya solusinya hanya diminta dalam rentang atau interval tertentu saja.

Untukmenyelesaikan persamaan-persamaan kuadrat di atas, langkah pertama adalah dengan membuat pemisalan untuk perbandingan trigonometrinya. Kita misalkan saja dengan p, maka bentuk umum persmaan kuadrat di atas akan menjadi ap 2 + bp + c = 0 baik untuk sinus, cosinus maupun tangen. Kemudian kita tentukan nilai p yang memenuhi.

Untuk mencari penyelesaian persamaan trigonometri bentuk kuadrat, kalian harus sudah memahami tentang pemfaktoran persamaan kuadrat, penyelesaian persamaan trigonometri sederhana↝ dan menguasai identitas trigonometri dengan baik. Berikut beberapa contoh soal tentang persamaan trigonometri bentuk kuadratLatihan SoalTentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $2{{\cos }^{2}}x+\cos x-1=0$, untuk $0\le x\le 360{}^\circ $Dengan memisalkan $\cos x=p$ maka$2{{\cos }^{2}}x+\cos x-1=0$ memisalkan $\cos x=p$$\Leftrightarrow 2{{p}^{2}}+p-1=0$$\Leftrightarrow 2p-1p+1=0$$\Leftrightarrow 2p-1=0$ atau $p+1=0$$\Leftrightarrow p=\frac{1}{2}$ atau $p=-1$ rubah lagi $p=\cos x$$\Leftrightarrow \cos x=\frac{1}{2}$ atau $\cos x=-1$Untuk $\cos x=\frac{1}{2}=\cos 60{}^\circ $$x=60{}^\circ + $Untuk $k=1\Rightarrow x=60{}^\circ $$x=-60{}^\circ + $Untuk $k=1\Rightarrow x=300{}^\circ $Untuk $\cos x=-1=\cos 180{}^\circ $$x=180{}^\circ + $Untuk $k=0\Rightarrow x=180{}^\circ $$x=-180{}^\circ + $Untuk $k=1\Rightarrow x=180{}^\circ $Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\lbrace60{}^\circ ,180{}^\circ ,300{}^\circ \rbrace$Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $4\sin^2x-1=0$, untuk $0\le x\le 360{}^\circ $Dengan memisalkan $\sin x=p$ maka$4\sin^2x-1=0$ memisalkan $\sin x=p$$\Leftrightarrow 4p^2-1=0$$\Leftrightarrow 2p-12p+1=0$$\Leftrightarrow 2p-1=0$ atau $2p+1=0$$\Leftrightarrow p=\frac{1}{2}$ atau $p=-\frac{1}{2}$ rubah lagi $p=\sin x$$\Leftrightarrow \sin x=\frac{1}{2}$ atau $\sin x=-1$Untuk $\sin x=\frac{1}{2}=\sin 30^\circ $$x=30^\circ + $Untuk $k=0\Rightarrow x=30^\circ $$x=180^\circ-30^\circ + $$x=150^\circ + $Untuk $k=0\Rightarrow x=150^\circ $Untuk $\sin x=-\frac12=\sin 210^\circ $$x=210^\circ + $Untuk $k=0\Rightarrow x=210^\circ $$x=180^\circ-210^\circ + $$x=-30^\circ + $Untuk $k=1\Rightarrow x=330^\circ $Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\lbrace 30^\circ ,150^\circ,210^\circ, 330^\circ\rbrace$Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $\tan^2x-1=0$, untuk $0\le x\le 360^\circ $$\tan^2x-1=0$$\Leftrightarrow p^2-1=0 $ misal $\tan x=p$$\Leftrightarrowp-1p+1=0 $$\Leftrightarrow p=1$ atau $p=-1$$\Leftrightarrow \tan x=1$ atau $\tan x=-1$ rubah lagi $p=\tan x$Untuk $\tan x=1=\tan 45^\circ $ maka diperoleh$x=45^\circ + $Untuk $k=0\Rightarrow x=45^\circ $Untuk $k=1\Rightarrow x=225^\circ $Untuk $\tan x=-1=\tan 35^\circ $$x=135^\circ + $Untuk $k=0\Rightarrow x=135^\circ $Untuk $k=1\Rightarrow x=315^\circ $Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\lbrace 45^\circ ,135^\circ ,225^\circ,315^\circ \rbrace$Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $2\sin^2x-1=0$, untuk $0\le x\le 2\pi $Dengan memisalkan $\sin x=p$ maka$2\sin^x-1=0$ memisalkan $\sin x=p$$\Leftrightarrow 2p^2-1=0$$\Leftrightarrow \sqrt2 p-1\sqrt2 p+1=0$$\Leftrightarrow \sqrt2p-1=0$ atau $\sqrt2p+1=0$$\Leftrightarrow p=\frac{1}{\sqrt2}$ atau $p=-\frac{1}{\sqrt2}$ rasionalkan bentuk akar$\Leftrightarrow p=\frac12\sqrt2$ atau $p=-\frac12\sqrt2$ rubah lagi $p=\sin x$$\Leftrightarrow \sin x=\frac12\sqrt2$ atau $\sin x=-\frac12\sqrt2$Untuk $\sin x=\frac12\sqrt2=\sin 45^\circ=\sin \frac14\pi $$x=\frac14\pi + $Untuk $k=0\Rightarrow x=\frac14\pi $$x=\pi-\frac14\pi + $$x=\frac34\pi + $Untuk $k=0\Rightarrow x=\frac34\pi $Untuk $\sin x=-\frac12\sqrt2=\sin 225^\circ=\sin \frac54\pi $$x=\frac54\pi + $Untuk $k=0\Rightarrow x=\frac54\pi $$x=\pi-\frac54\pi + $$x=-\frac14\pi + $Untuk $k=1\Rightarrow x=\frac74\pi $Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\lbrace \frac14\pi,\frac34\pi,\frac54\pi,\frac74\pi \rbrace$Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $2\cos^2x-5\cos x-3=0$, untuk $0\le x\le 2\pi $Dengan memisalkan $\cos x=p$ maka$2\cos ^2x-5\cos x-3=0$ memisalkan $\cos x=p$$\Leftrightarrow 2p^2-5p-3=0$$\Leftrightarrow 2p+1p-3=0$$\Leftrightarrow 2p+1=0$ atau $p-3=0$$\Leftrightarrow p=-\frac{1}{2}$ atau $p=3$ rubah lagi $p=\cos x$$\Leftrightarrow \cos x=-\frac{1}{2}$ atau $\cos x=3$Untuk $\cos x=-\frac{1}{2}=\cos 120^\circ=\cos \frac23\pi $$x=\frac23\pi + $Untuk $k=0\Rightarrow x=\frac23\pi $$x=-\frac23\pi + $Untuk $k=1\Rightarrow x=\frac43\pi $Untuk $\cos x=3$ jelas tidak memenuhi karena nilai $\cos x$ maksimal adalah 1Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\lbrace \frac23\pi,\frac43\pi \rbrace$Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $\tan^2x-3=0$, untuk $0\le x\le 2\pi $$\tan^2x-3=0$$\Leftrightarrow p^2-3=0 $ misal $\tan x=p$$\Leftrightarrowp-\sqrt3p+\sqrt3=0 $$\Leftrightarrow p=\sqrt3$ atau $p=-\sqrt3$$\Leftrightarrow \tan x=\sqrt3$ atau $\tan x=-\sqrt3$ rubah lagi $p=\tan x$Untuk $\tan x=\sqrt3=\tan 60^\circ =\tan \frac13 \pi $ maka diperoleh$x=\frac13 \pi +k.\pi $Untuk $k=0\Rightarrow x=\frac13 \pi $Untuk $k=1\Rightarrow x=\frac43 \pi $Untuk $\tan x=-\sqrt3=\tan 120^\circ=\tan \frac23 \pi $$x=\frac23 \pi +k.\pi $Untuk $k=0\Rightarrow x=\frac23 \pi $Untuk $k=1\Rightarrow x=\frac53 \pi $Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\lbrace \frac13 \pi,\frac23 \pi,\frac43 \pi,\frac53 \pi \rbrace$Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $4\sin^23x-1=0$, untuk $0\le x\le 360{}^\circ $Dengan memisalkan $\sin 3x=p$ maka$4\sin^2x-1=0$ memisalkan $\sin 3x=p$$\Leftrightarrow 4p^2-1=0$$\Leftrightarrow 2p-12p+1=0$$\Leftrightarrow 2p-1=0$ atau $2p+1=0$$\Leftrightarrow p=\frac{1}{2}$ atau $p=-\frac{1}{2}$ rubah lagi $p=\sin 3x$$\Leftrightarrow \sin 3x=\frac{1}{2}$ atau $\sin 3x=-1$Untuk $\sin 3x=\frac{1}{2}=\sin 30^\circ $$3x=30^\circ + $ masing-masing dibagi 3$x=10^\circ + $Untuk $k=0\Rightarrow x=10^\circ $Untuk $k=1\Rightarrow x=130^\circ $Untuk $k=2\Rightarrow x=250^\circ $$3x=180^\circ-30^\circ + $$3x=150^\circ + $ masing-masing ruas dibagi 3$x=50^\circ + $Untuk $k=0\Rightarrow x=50^\circ $Untuk $k=1\Rightarrow x=170^\circ $Untuk $k=2\Rightarrow x=290^\circ $Untuk $\sin 3x=-\frac12=\sin 210^\circ $$3x=210^\circ + $$\Rightarrow x=70^\circ + $Untuk $k=0\Rightarrow x=70^\circ $Untuk $k=1\Rightarrow x=190^\circ $Untuk $k=3\Rightarrow x=310^\circ $$x3=180^\circ-210^\circ + $$\Rightarrow 3x=-30^\circ + $$\Rightarrow x=-10^\circ + $Untuk $k=1\Rightarrow x=110^\circ $Untuk $k=2\Rightarrow x=230^\circ $Untuk $k=3\Rightarrow x=350^\circ $Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\lbrace 10^\circ, 50^\circ, 70^\circ,110^\circ,130^\circ,170^\circ,$ $190^\circ,230^\circ,250^\circ, 290^\circ,310^\circ,350^\circ \rbrace$

.

menyelesaikan persamaan trigonometri yang berbentuk persamaan kuadrat